(Illustratie: Catherine)
De groei van een populatie en de verpreiding van nieuws (denk aan een groep konijnen of de verspreiding van fake nieuws op de sociale media) lijken lastig te voorspellen. Er zijn natuurlijk maatregelen voor of tegen te nemen. Tegelijkertijd lijkt het erop dat die groei en die verspreiding maar lastig te begrijpen zijn.
Toch is er een eenvoudige formule voor dit soort processen. Kan die formule inzicht geven in die groei en die verspreiding? Ze ziet er bedriegelijk eenvoudig uit, kijk maar.
Een formule
xn+1 = λxn(1−xn)
In deze formule staat xn+1 voor de populatie van morgen en xn voor de populatie van vandaag.
Verder staat λxn voor de groei van de populatie (λ is de vermenigvuldigingsfactor, de vruchtbaarheid) en 1-xn voor de sterfte binnen die populatie.
Verspreiding en voortplanting van konijnen en virussen
Denk aan konijnen: je hebt er nu 10, hoeveel heb je er over een paar weken?
Of denk aan de verspreiding van een viraal online bericht, of een echt virus...
(Illustratie: Numberphile)
In deze functie - een zogenaamde "logistieke map" - gebeurt precies wat er in de echte wereld ook zou gebeuren. Kijk maar even mee.
Een model voor de echte wereld
Als λ erg groot is, gaat de populatie heel hard groeien. Maar, daardoor ontstaat er - in de echte wereld - ruimtegebrek, onderlinge strijd en gebrek aan voorzieningen om het voortbestaan te ondersteunen. En juist daardoor gaat de populatie daarna weer afnemen.
Als λ erg klein is (kleiner dan 1), dan zijn de konijnen - of de virussen - niet vruchtbaar, waardoor de populatie onvermijdelijk uitsterft.
(Bedenk overigens wel even dat deze formule de populatie uitdrukt in een percentage van de maximaal mogelijke grootte, dus in een getal tussen 0 en 1.)
Complex-dynamisch: chaostheorie
Hoe eenvoudig deze formule er ook uitziet, ze gedraagt zich heel vreemd en onverwacht. We zien dat de populatie zich bij bepaalde waarden van de vruchtbaarheid (λ) bij elke cyclus stabiliseert op vastgestelde waarden. Dat kunnen er twee zijn, maar ook vier of acht, of zestien enzovoort. Dat levert het volgende plaatje op (op de horizontale as de vruchtbaarheid, op de verticale as de populatie).
(Illustratie: RAWgraphs, Rijk Willemse)
Dus, de populatie stabiliseert zich op één vaste waarde, of is het ene jaar afwisselend 0.768 of 0.554 van het maximum, of de populatie komt terecht in de cyclus van vier, acht of zestien (enzovoort) vaste waarden...
Zo'n formule in haar herhaling noemen we een chaotisch systeem. Je hoeft geen wiskundige te zijn om te zien dat je dus soms met een eenvoudige verklaring (de formule) best ingewikkelde zaken inzichtelijk kunt maken.
Voorspelbaar?
Wat leren we hiervan? De groei van een populatie, het voorplantingsgedrag van een bericht (fake of echt) op een online netwerk, de verspreiding van een virus, ze zijn alle onderworpen aan de wetten van de chaosleer. Grillig maar binnen bepaalde grenzen wel te begrijpen en vooral: te voorspellen...
Sociale media, virussen en andere natuurlijke systemen kunnen zich dus heel goed turbulent en chaotisch gedragen. Vanuit de juiste invalshoek - met een passende formule - kunnen we er niettemin greep op krijgen. Omdat het chaotische systeem zich zo beschouwd regelmatiger gedraagt dan we dachten.
Een hele troost?
Meer informatie
Kijk hier naar een wiskundige uitleg, met leuke regelaars om mee te spelen.
En kijk hier naar een video waarin een wiskundige het systeem op een aantrekkelijke manier uitlegt (hier een uitleg die net iets dieper gaat).